Качественная теория и численный анализ дифференциально-алгебраических уравнений

Направление ПФНИ ГАН: I.1 Теоретическая математика

Комплексная программа ФНИ СО РАН I.2П "Интеграция и развитие"

№ гос регистрации: АААА-А17-117032210084-5 

Период выполнения: 2017 г.

Объектом исследования являются взаимосвязанные системы алгебраических и дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными), которые можно записать в виде системы дифференциальных уравнений с необратимыми в области определения матричными коэффициентами. Такие системы принято называть дифференциально-алгебраическими уравнениями (ДАУ). Характеристикой сложности внутренней структуры ДАУ является целочисленная величина, называемая индексом неразрешенности. Начальные и краевые задачи для ДАУ встречаются при описании механических динамических систем со связями, моделировании электрических и гидравлических цепей, задачах внутренней баллистики и других прикладных областях.
Свойства ДАУ существенно отличаются от свойств систем дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старшей производной искомой вектор-функции. Решение ДАУ зависит от производных входных данных вплоть до порядка, совпадающего с размерностью системы. В общем случае, отсутствует непрерывная зависимость решений от входных данных, а
пространство решений может оказаться бесконечномерным. Неоднородная система может быть несовместна на интервале своего задания. Структура пучка матриц Якоби, описывающих систему, не инвариантна относительно преобразований, использующих замену переменных. Все перечисленные особенности делают невозможным исследование и численное решение ДАУ
методами, ориентированными на системы, разрешенные относительно старшей производной, что обуславливает необходимость разработки принципиально новых теоретических подходов.
Целью проекта является исследование качественных свойств и построение численных методов решения систем ДАУ обыкновенных и с частными производными. Проектом предусматривается: получение условий управляемости в различных смыслах и наблюдаемости линейных нестационарных обыкновенных ДАУ произвольно высокого индекса неразрешенности
и создание новых устойчивых численных методов решения ДАУ с частными производными.